EXAMEN GLOBAL PRIMER TRIMESTRE

PRE Y POSTEVALUACIÓN

PREEVALUACIÓN

Desde mi punto de vista el examen era complicado, además de muy largo lo que hace más cansado tener que emplear tanto tiempo en resolverlo. Los ejercicios aunque difíciles estaban planteados de forma muy clara, lo que es una “ventaja” además del hecho de poder utilizar soportes que previamente has podido preparar.

Y el libro que también es una herramienta, menos útil que los apuntes pero para determinados conceptos y explicaciones, sirve de ayuda. En definitiva nunca había hecho un examen así y no sabía muy bien cómo hacerlo, pero bueno de todo hay que saber en esta vida.Finalmente decir, que desde mi punto de vista y teniendo en cuenta el tiempo que le he empleado a la asignatura y la dificultad del examen me pondría un 3.7-4.

POSTEVALUACIÓN

Después de corregir el examen, sigo pensando que era muy complicado pero ahora que ya se el “modus operandi” de los exámenes creo que puedo mejorar mis resultados con mi esfuerzo.

PERSONAJES RELEVANTES EN LAS MATEMÁTICAS

             

     

SOPHIE GERMAIN:

La matemática Sophie Germain (1776-1831) nació un 1 de abril. Realizó importantes contribuciones a la teoría de números y la teoría de la elasticidad. 

Uno de los más importantes fue el estudio de los que se denominan números primos de Germain. Estudió y aprendió a pesar  de la oposición de su familia: sus saberes procedían de libros de la biblioteca de su padre y de correspondencia que mantuvo (bajo seudónimo) con eminentes  matemáticos como Joseph-Louis Lagrange, Adrien-Marie Legendre o Karl Friedrich Gauss.

CARDANO:

Cardano ( 1501-1576) comenzó como asistente de su padre, que le enseñó Matemática. Pero él aspiraba a más y empezó a pensar en hacer una carrera. 

Aunque su padre quería que estudiara derecho,  ingresó a la Universidad de Pavia a estudiar medicina, estudios que luego debió continuar en la Universidad de Padua por la guerra. Se graduó de médico en 1525 e hizo importantes contribuciones al Álgebra, Probabilidad, Hidrodinámica, Mecánica y Geología y publicó dos enciclopedias de Ciencias Naturales.

DIOFANTO:

Diofanto de Alejandría (griego antiguo: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς, Dióphantos ho Alexandreús), nacido alrededor del 200/214 d. C. y fallecido alrededor de 284/298 d. C., fue un antiguo matemático griego. Es considerado "el padre del álgebra maestral" y  conocido principalmente por su obra Aritmética, la primera obra en la que se trata esta materia de forma sistemática.

PRUEBA 5 DE MATEMÁTICAS

1-¿Qué es un logaritmo?

Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.

2-Propiedades de los logaritmos:

                

                      A-  Logaritmo de la unidad: El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0.

       

       logb (1) = 0 ;  con b ≠ 1.

    

      *Ej*: 
       
        log5 (1) = 0    porque     50 =1

       

        log7 (1) = 0   porque   70 = 1

       

        log20 1 = 0   ⇔  200 = 1

      B- Logaritmos de la base: El logaritmo de la base es igual a 1.

    

      logb (b) = 1 ; con b ≠ 1.

     *Ej:* 

      log5 (5) = 1  ⇔ 51 = 5

      log6 (6) = 1  ⇔ 61 = 6

      log12 (12) = 1  ⇔ 121 = 12

     C- Logaritmo de una potencia con igual base: El logaritmo de una potencia de un                 número es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del número.

     

     logb bn = n,  con b ≠ 1

     * Ej: *

    
       log6 6 3 = 3

      D- Logaritmo de un producto: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los              logaritmos de los factores.

     

      logb (a • c) = logb a + logb  c

     

       *Ej:*:

      
        logb (5 • 2) = logb 5 + logb 2

      E- Logaritmos de un cociente: El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del                dividendo, menos el logaritmo del divisor.

     

  

                               *Ej:*

      F- Logaritmo de una potencia: El logaritmo de una potencia es igual al exponente                  multiplicado por el logaritmo de la base.

      

      loga cn = n loga c

      *Ej:*

     

      log3 10 2  =  2 log3 10

     G- Logaritmo de una raíz: El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad           subradical dividido entre el índice de la raíz.

                                      *Ej:*

         H- Cambio de base: se usa  siempre esta fórmula:

                                       *Ej:*

3-¿Qué es una escala logarítmica?

Una escala logarítmica es una escala de medida que utiliza el logaritmo de una cantidad física en lugar de la propia cantidad. Un ejemplo sencillo de escala logarítmica muestra divisiones igualmente espaciadas en el eje vertical de un gráfico marcadas con 1, 10, 100, 1000, ... en vez de 0, 1, 2, 3…

6-Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales (usa GEOGEBRA si es necesario):

27 · 37x = 9

42x = 3x - 1

2x = 3x - 1

4-2x+1 = 3x-2 + 1

8-Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

9-Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas.

10-Una entidad financiera concede un préstamo de 600000 euros por un plazo de 15 años, con cuotas de amortización semestrales y con un tipo de interés anual del 2%. ¿Cuál debe ser la cuota de amortización?

HISTORIA DEL LOGARITMO

                                

Los logaritmos irrumpen en la historia de la humanidad hace casi 400 años y fueron utilizados durante casi 350 años como la principal herramienta en los cálculos aritméticos.

Napier,impulsó fuertemente su desarrollo, y por tal razón es considerado el inventor de los logaritmos, muchos otros matemáticos de la época también trabajaron con ellos.

Joost Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por primera vez los logaritmos; sin embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que Napier. La inicial resistencia a la utilización de logaritmos fue cambiada por Kepler, por el entusiasta apoyo de su publicación y la impecable y clara explicación de cómo funcionaban.

Napier no usó una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como factor de escala, funcionaban de manera eficaz con base 1/e. Para los propósitos de interpolación y facilidad de cálculo, eran útiles para hallar la relación r en una serie geométrica tendente a 1. Napier escogió r = 1 - 10−7 = 0,999999 (Bürgi eligió r = 1 + 10−4 = 1,0001). Los logaritmos originales de Napier no tenían log 1 = 0, sino log 107 = 0. Así, si N es un número y L es el logaritmo, Napier calcula: N = 107(1 − 10−7)L. Donde (1 − 10−7)107 es aproximadamente 1/e, haciendo L/107 equivalente a log1/e N/107.

PRUEBA 4 DE MATEMÁTICAS

                                           PRUEBA 4

                   -Inecuaciones y Sistemas de Inecuaciones-

1-¿Qué ocurre en una desigualdad a < b si elevamos ambos miembros al cuadrado? ¿Y al cubo? ¿Y si elevamos a -1? ¿Y si elevamos a un medio? ¿Y a un tercio?

2-Define solución de una inecuación con una incógnita como un conjunto.

El conjunto que contiene todas las soluciones de la ecuación recibe el nombre de  conjunto solución para esa ecuación.

4-¿Cuándo el producto de x+1 y -2x+3 es positivo?

7- Resuelve el sistema de inecuaciones

y > x - 1

y < -0'5x - 6'5

y > -2x - 8

8-Resuelve en Z2 el sistema de inecuaciones

x - y - 1 < 0

x + 2y + 13 > 0

2x + y + 8 < 0

9-Juan tiene la costumbre de subir la escalera de su casa saltando los escalones de 2 en 2 y bajándolos con saltos de 3 en 3. No recuerda con exactitud cuántos saltos da entre la subida y la bajada: entre 45 y 50. ¿Cuántos escalones tiene la escalera de su casa?

10-Un artesano fabrica dos tipos de puertas de jardín utilizando varillas de hierro macizo y varillas de hierro hueco. Para una puerta del primer tipo, con un beneficio por unidad de 40 €, necesita 10 metros de varilla de hierro macizo y 20 metros de varilla de hierro hueco. Para una puerta del segundo tipo, con un beneficio por unidad de 60 €, necesita 5 metros de varilla de hierro macizo y 20 metros de varilla de hierro hueco. Dispone de 440 metros de varilla de hierro macizo y, como mínimo, debe gastar 800 metros de varilla de hierro hueco. Además, tiene que fabricar un mínimo de 25 unidades del primer tipo.

PRIMERA CLASE DE MATEMÁTICAS Y PRUEBAS 1,2,3.

Mi primera clase de matemáticas en bachillerato fue muy diferente no solo a las anteriores clase de matemáticas que he tenido en mi vida sino también a las clases normales.

La distribución de as mesas en la clase,  presentaciones de Power Point. Por ejemplo.
Y para terminar las clases se me hacen muy amenas y eso pues esta muy bien.




Aquí adjunto mis ejercicios de matemáticas:

  3. OTRO PROBLEMA MÁS

  Para resolver el problema simplemente he relacionado los 705 escaños (100%) con el porcentaje de    cada país, es decir una regla de tres.
































   EJERCICIOS  LIBRO TEMA 1 

GRAFO DE DIVISIBILIDAD DEL Nº 23 PARA AVERIGUAR LA LETRA DE TU DNI
(12470227H el mío)

• Primero dividimos nuestro numero de DNI entre 23, ya que utilizaremos el resto.

          12470227:23= 542183

          con resto 18.

• Ahora solo tenemos que ver la letra que se corresponde con nuestro número.

          0   1   2    3   4   5   6   7   8   9   10  11  12  13  14  15   16  17  18  19   20   21  22 

          T  R   W  A  G  M  Y  F   P   D   X   B   N    J    Z    S     Q   V   H   L    C     K   E

         Como podemos observar, efectivamente el número 18 coincide con nuestra letra.


                                                         

                                                                 PRUEBA 1



      1- ¿Qué es un número real? ¿Qué es un número radical? ¿Qué es un número                algebraico? ¿Qué es un número trascendente?

  a. El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta  numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales.

 b. Los números irracionales se distinguen de los racionales por poseer infinitas       cifras decimales que no se repiten nunca, es decir, no periódicas. Por ello no pueden ser expuestos en forma de fracción de dos enteros.

c. Un número algebraico es: cualquier número que es solución de un polinomio no nulo con coeficientes racionales.

d. Un número real es trascendente si no es algebraico, es decir, si el número real no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros.

    

   2-  ¿El número 5 es un número decimal periódico? Pon tres ejemplos de números decimales no periódicos. ¿Cómo se llaman también dichos números decimales no periódicos?

a. No, no es periódico, periódico seria: 5= 0,55555…

b. Ejemplos de decimales no periódicos 3,14-5.67-69.1

c. decimales no periódicos. 

3- Escribe en lenguaje matemático que si un número entero es múltiplo de 6 entonces es múltiplo de 2 y múltiplo de 3. Demuéstralo. ¿Es cierta la proposición recíproca?

6x=3y·2y porque  se supone que 2 y 3 son múltiplos de 6 y efectivamente es cierto, pasas a dividir el 6 y te queda x=y. Es recíproco                                              

4-Escribe en lenguaje matemático logaritmo base dos de nueve. Demuestra que es un número irracional.

                                            

5-¿Qué es una aplicación? ¿Qué es una sucesión de números reales? ¿Qué es una función real de variable real? ¿Cómo se puede definir una sucesión? Escribe en lenguaje matemático la sucesión (o mejor dicho sucesiones) que aparece(n) en la conjetura de Collatz.

a-Aplicación en la Matemática: Muestra el concepto, definiciones y ejemplos de la Aplicación en la Matemática, la cual establece una correspondencia entre dos conjuntos de elementos de forma que a todo elemento del conjunto de partida se le asocie un elemento único del conjunto de llegada.

b- y d-Una sucesión de números reales: es un conjunto de números reales ordenados, es decir, cada número de la sucesión ocupa un lugar.1​ Los términos de la sucesión son cada uno de los números que forman la sucesión y se representan por una letra con un subíndice numérico que indica el lugar del término.

EJEMPLO:

 Sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...

c-Se llama función real de variable real  a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento "x"de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R.

e- Si "n" es par divide entre 2 (Es decir n/2)

Si "n"es impar multiplica por 3 y suma 1 al resultado (Es decir 3n+1)

Con el número que hayas obtenido tienes que repetir el proceso. Así sucesivamente. Siempre llegarás al número 1 (como tú)

EJEMPLOS:

Si empezamos por el número 4 , obtenemos esta secuencia:  4,2,1

Si n=5, obtenemos esta serie   5,16,8,4,2,1

Si n = 6  →→ → 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

                                                                             

6-¿Qué es una conjetura matemática? Ejemplos.

Por conjetura se entiende el juicio que se forma  de las cosas o sucesos por indicios y observaciones. En la Matemática, el concepto de conjetura se refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido probada ni refutada hasta la fecha. Una vez se demuestra la veracidad de una conjetura, esta pasa a ser considerada un teorema de pleno derecho y puede utilizarse como tal para construir otras demostraciones formales.

Conjetura de Goldbach: Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

EJEMPLOS

4=2+2

6=3+3

10=3+7

7-Demuestra que la sucesión obtenida de la resta de dos términos consecutivos de una sucesión cuadrática (polinómica de grado 2) es una progresión aritmética.

                                             

8-Dibuja con regla y compás en la recta real los números raíz cuadrada de 6 y Ф.

9-Propiedades de la potenciación en Q. ¿Siguen siendo ciertas en R?

a.

b. Sí se siguen cumpliendo en “R”

10- ¿Qué es racionalizar una división de números reales? Racionaliza el número cordobés.

                                                     


                                                              PRUEBA 2

1-Define los siguientes conjuntos de polinomios: Z[x], Q[x] y R[x].   Observa que:

Pon ejemplos de, un polinomio en Z[x], un polinomio en Q[x]-Z[x] y un polinomio en R[x]-Q[x].

a-Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera  una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.

b-   F(x) =P(x)/Q(x)

Donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo, esta fracción es irreducible, es decir que las ecuaciones P(x) = 0 y Q(x) = 0 carecen de raíces comunes. Esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinomios de varias variables.

c-
· Polinomio en Z(x) = 2z²+3z·4

· Polinomio en Q(x)= 3q⁵: 2q₇·1q³+2
·Polinomio en R(x)= 3r⁵: 2r₇·1r³+2r⁴-5r⁷:4

2-Halla el inverso del polinomio 2x+3. ¿Qué es una fracción algebraica? Pon ejemplos. ¿2x+3 es una fracción algebraica?

a- y c-

Sí, es una función algebraica porque es una expresión fraccionaria

1/2x+3

b-Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios, siendo el denominador no nulo. 

3-Define polinomio, ecuación polinómica y función polinómica. Define raíz de un polinomio, solución de una ecuación y cero de una función. Pon ejemplos.

· Halla las raíces del polinomio 8x3 + 2x2 - 13x + 3

· Resuelve la ecuación  polinómica 8x3 + 2x2 - 13x + 3 = 0

· Halla los ceros de la función polinómica y = 8x3 + 2x2 - 13x + 3

·Polinomio: expresión algebraica que constituye la suma o la resta ordenadas de un número finito de términos o monomios.

·Ecuación Polinómica: solo contienen expresiones algebraicas que pueden tener una o más incógnitas que invierten la ecuación, según el exponente o grado que tengan son nombrados de distintas maneras.

·Función Polinómica:

·Las raíces de un polinomio: nos van a permitir descomponer los polinomios en factores, lo que su vez nos permitirá realizar la división de polinomios de una forma más fácil.

4-Enuncia y demuestra el teorema del factor.

En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio. Es un caso especial del teorema del resto. El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(x = a) = 0.

6-Escribe en lenguaje matemático la siguiente proposición: Si a es un número entero raíz de un polinomio p(x) con coeficientes enteros entonces a es un divisor del término independiente de a. Demuéstrala. Enuncia la proposición contrarrecíproca. ¿Es cierta la proposición recíproca?

8-Factoriza los siguientes polinomios

· 8x3 + 2x2 - 13x + 3

· 12x3 - 8x2 - 3x + 2

· x4 + 4y4    Ayuda: suma y resta un adecuado monomio.

9-Sea f una función polinómica con coeficientes enteros. Demuestra que si la distancia entre dos puntos cualesquiera de su gráfica con coordenadas enteras es un número entero entonces el segmento que une dichos puntos es paralelo al eje de abscisas.

10-Opera y simplifica el resultado

                                                          PRUEBA 3

1-Define solución de una ecuación como un conjunto. ¿Qué es resolver una ecuación? ¿Cuándo se dice que una ecuación es equivalente a otra ecuación? En ese caso, ¿podemos decir que son ecuaciones equivalentes? ¿Qué son las transformaciones elementales sobre una ecuación? ¿Cómo se resuelve una ecuación?

a- Resolver una ecuación es calcular la solución de la ecuación. La solución de la ecuación son los valores numéricos de las letras (variables o incógnitas) para los cuales la igualdad es cierta. Es decir al sustituir estos valores por las letras en la ecuación y operar obtenemos una igualdad.

b- Dos ecuaciones son equivalentes cuando al resolverlas obtenemos el mismo resultado. Dos formas sencillas de generar ecuaciones equivalentes son:

 Sumando o restando el mismo número a los dos miembros de una ecuación.

Multiplicando o dividiendo por el mismo número todos los miembros de la ecuación

c- Sí, mientras se cumpla la regla del apartado (b) las ecuaciones serán equivalentes.

d- Llamamos transformaciones elementales de matrices a cualquiera de las siguientes operaciones que podemos realizar sobre la matriz:

Intercambiar dos filas (o columnas) de la matriz.

Multiplicar una fila (o columna) de la matriz por un número real no nulo.

Sumar a una fila (o columna) de la matriz el resultado de multiplicar otra fila (o columna) por un número real no nulo.

e- Una ecuación se resuelve encontrando todos los resultados posibles de la operación.

2-Resuelve las siguientes ecuaciones:

a. 

b. 

c.

d.

























e.

f.

g.

h.-y.

3- ¿Qué es una ecuación diofántica? Pon un ejemplo.

Cualquier ecuación algebraica, de dos o más incógnitas, cuyos coeficientes recorren el conjunto de los números enteros, de las que se buscan soluciones enteras, esto es, que pertenezcan al conjunto de los números enteros.

EJEMPLO:

4-Resuelve la ecuación diofántica x² + y² = z²

5-Resuelve:

6-Clasifica y resuelve por el método de Gauss, en forma matricial, el sistema de ecuaciones lineales:

7-La anterior proposición nos permite encontrar las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros. Enuncia una proposición análoga sobre las raíces racionales de un polinomio con coeficientes racionales.

9-En una finca hay 22 árboles entre manzanos, ciruelos y perales. El doble del número de ciruelos más el triple del número de perales es igual al doble del número de manzanos. Halla el número de árboles de cada tipo si se sabe que el número de ciruelos es la mitad del de manzanos.

10-Clasifica y resuelve por el método de Gauss, en forma matricial, y gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: